Question

12．已知函数f（x）=$\frac{a（x-1）}{{x}^{2}}$，其中a＞0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设g（x）=xlnx-x²f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最小值（其中e为自然对数的底数）

Answer 1

分析 （1）求导数，利用导数求函数的单调性区间；
（2）利用导数求函数g（x）在闭区间上的最小值．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{a（{-x}^{2}+2x）}{{x}^{4}}$，（x≠0），
因为a＞0，所以由f′（x）＞0，-x²+2x＞0得0＜x＜2，此时函数单调递增．
由f′（x）＜0，得-x²+2x＜0，即x＞2或x＜0，此时函数单调递减．
所以函数f（x）的单调递减区间为（-∞，0）和（2，+∞），单调递增区间为（0，2）．
（2）g（x）=xlnx-x²f（x）=xlnx-a（x-1），
则g'（x）=lnx+1-a，由g'（x）=lnx+1-a=0，解得x=e^a-1．
所以在区间（0，e^a-1）上，函数单调递减，在（e^a-1．，+∞）上，函数单调递增．
①当e^a-1．≤1，即0＜a≤1时，在区间[l，e]上g（x）单调递增，所以g（x）的最小值为g（1）=0．
②当e^a-1．≥e，即a≥2时，在区间[l，e]上g（x）单调递减，所以g（x）的最小值为g（e）=e+a-ae．
③当1＜e^a-1．＜e，即1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（e^a-1）=（a-1）e^a-1-a（e^a-1-1）=a-e^a-1．
综上当0＜a≤1时，g（x）的最小值为g（1）=0．
当1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（e^a-1），
当≥2时，g（x）的最小值为g（e）=e+a-ae．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的最值和函数的单调区间，比较综合．