Question

6．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=AC=BC=1，则异面直线A₁B与AC所成角的余弦值是（　　）

• A． -$\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． -$\frac{\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由AC∥A₁C₁，知∠C₁A₁B是异面直线A₁B与AC所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A₁B与AC所成角的余弦值．

解答 解：连结BC₁，∵AC∥A₁C₁，
∴∠C₁A₁B是异面直线A₁B与AC所成角（或所成角的补角），
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=AC=BC=1，
∴AB=$\sqrt{2}$，A₁B=$\sqrt{3}$，BC₁=$\sqrt{2}$，A₁C₁=1，
∴cos∠C₁A₁B=$\frac{1+3-2}{2×1×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴异面直线A₁B与AC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．