Question

5．设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a²sinC=4sinA，（ca+cb）（sinA-sinB）=sinC（2$\sqrt{7}$-c²），则△ABC的面积为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由正弦定理化简已知可得ac=4，a²+c²-b²=2$\sqrt{7}$，继而利用余弦定理可得cosB，利用同角三角函数基本关系式可求sinB，根据三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：∵a²sinC=4sinA，
∴由正弦定理可得：a²c=4a，解得：ac=4，
∵（ca+cb）（sinA-sinB）=sinC（2$\sqrt{7}$-c²），
∴c（a+b）（a-b）=c（2$\sqrt{7}$-c²），整理可得：a²+c²-b²=2$\sqrt{7}$，
∴由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{2\sqrt{7}}{2×4}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，可得：sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{3}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×4×\frac{3}{4}$=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理可，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．