Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a₂=2，且点（S_n，S_n+1）在直线y=kx+1上．
（1）求k的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若不等式对一切正整数n和实数λ均恒成立，求整数m的最小值．

Answer 1

解：（1）∵点（S_n，S_n+1）在直线y=kx+1上，
故S_n+1=kS_n+1．
n=1时，a₁+a₂=ka₁+1
又a₁=1，a₂=2，则1+2=k+1，∴k=2；
（2）由（1）知S_n+1=2S_n+1①
当n≥2时，S_n=2S_n-1+1②
①-②得a_n+1=2a_n（n≥2）
又a²=2a₁，易见a_n≠0（n∈N₊），∴=2（n∈N₊）
故{a_n}成等比数列．
∴a_n=1×2^n-1=2^n-1．
（3）∵
在n≥3时，单调递增
在1≤n≤2时，单调递减
∴当n=2或3时，有最小值为
又不等式，对一切n∈N*恒成立．
∴，
对一切λ∈R恒成立．
∴，
∴整数m的最小值为-4．
分析：（1）根据点在直线上，把点的坐标代入直线方程，得到两者之间的关系，给出当n=1时的结果，用待定系数法求出变量的值．
（2）根据所给的前n项和之间的关系，仿写一个关系式，两式相减得到通项之间的关系，从而得到数列是等比数列，注意验证首相是否符合．
（3）构造新的函数，注意函数的单调性，特殊项进行验证，把函数式进行整理，变为函数的恒成立问题，二次函数大于零恒成立，问题转换为二次函数的最值问题，利用判别式解决．
点评：数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同 因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性．