Question

5．已知f（x）=asinx+bcosx（a＞0），且当f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$时f（x）的最大值为$\sqrt{10}$．
（1）求a，b的值．
（2）若f（x）=1且x≠kπ，（k∈Z）求sin2x的值．

Answer 1

分析 （1）依题意，可列出关于a、b的方程组$\left\{\begin{array}{l}{a+b=2}\\{{a}^{2}{+b}^{2}=10}\end{array}\right.$，解之即可；
（2）由f（x）=1且x≠kπ（k∈Z）可求得cosx=$\frac{4}{5}$，sinx=$\frac{3}{5}$，从而可求sin2x的值．

解答 解：（1）由已知可得，a+b=2，a²+b²=10（a＞0），
解得a=3，b=-1．
（2）由f（x）=1得，3sinx-cosx=1，
∴3sinx=cosx+1，
平方得，9sin²x=cos²x+2cosx+1，
∴5cos²x+cosx-4=0，
∴cosx=$\frac{4}{5}$（-1舍去），从而sinx=$\frac{3}{5}$，
∴sin2x=2sinxcosx=2×$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{24}{25}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，突出考查函数与方程思想及运算求解能力，属于中档题．