Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₂=

3

2

a₂-1，S₃=

3

2

a₃-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在a_n于a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d_n的等差数列，记数列{

1

dn

）的前n项和为T_n，求使得

8

5

T_n+

n

5×3n-1

≤

40

27

成立的正整数n的最大值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出a₃=3a₂，a₁+3a₁=

9

2

a1-1，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由已知得a_n+1=a_n+（n-1）d_n，所以

1

dn

=

n+1

4×3n-1

，由此利用错位相减法求出Tn=

15

16

-

2n+5

16×3n-1

，从而能求出使得

8

5

T_n+

n

5×3n-1

≤

40

27

成立的正整数n的最大值．

解答： 解：（1）∵等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₂=

3

2

a₂-1，S₃=

3

2

a₃-1，
∴a3=S3-S2=

3

2

a3-

3

2

a2，
整理，得a₃=3a₂，∴公比q=3，
∴a₁+3a₁=

9

2

a1-1，解得a₁=2，
∴数列{a_n}的通项公式an=2×3n-1．
（2）由（1）知an+1=2×3n，an=2×3n-1，
∵在a_n于a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d_n的等差数列，
∴a_n+1=a_n+（n-1）d_n，
∴d_n=

4×3n-1

n+1

，∴

1

dn

=

n+1

4×3n-1

，
∴Tn=

2

4×30

+

3

4×3

+

4

4×32

+…+

n+1

4×3n-1

，①

1

3

Tn=

2

4×3

+

3

4×32

+

4

4×33

+…+

n+1

4×3n

，②
①-②，得：

2

3

Tn=

2

4×30

+

1

4×3

+

1

4×32

+…+

1

4×3n-1

-

n+1

4×3n

=

1

2

+

1

4

×

1 3 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

n+1

4×3n

=

5

8

-

2n-5

8×3n

，
∴Tn=

15

16

-

2n+5

16×3n-1

．
∴

8

5

Tn+

n

5×3n-1

≤

40

27

，即

3

2

-

1

2×3n-1

≤

40

27

，
3^n-1≤27，解得n≤4，
∴使得

8

5

T_n+

n

5×3n-1

≤

40

27

成立的正整数n的最大值是4．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查使得不等式成立的正整数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．