Question

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，a₁=3，且a_n+1=2S_n+3，数列{b_n}为等差数列，且公差d＞0，b₁+b₂+b₃=15．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若

a1

3

+b1，

a2

3

+b2，

a3

3

+b3成等比数列，求数列{

1

bnbn+1

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+1=2S_n+3，a_n=2S_n-1+3（n≥2）两式作差即可求得a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得a_n=3ⁿ，

a1

3

+b1，

a2

3

+b2，

a3

3

+b3成等比数列可求得b_n，用裂项法可求得数列{

1

bnbn+1

}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）由a_n+1=2S_n+3，a_n=2S_n-1+3（n≥2）
得：a_n+1-a_n=2a_n∴a_n+1=3a_n（n≥2）
∴

an+1

an

=3(n≥2)（2分）
a2=2a1+3=9，

a2

a1

=3，（3分）
∴

an+1

an

=3(n∈N*)
∴a_n=3ⁿ（4分）
（Ⅱ）由b₁+b₂+b₃=15，得b₂=5（5分）
则b₁=5-d，b₃=5+d，

a1

3

+b1=6-d，

a2

3

+b2=8，

a3

3

+b3=14+d
则有：64=（6-d）（14+d）即：d²+8d-20=0（6分）
d=2或d=-10∵d＞0∴d=2（7分）
∴b_n=b₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1（8分）
∴Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)=

n

6n+9

（10分）

点评：本题考差数列求和，重点考查学生的转化思想，方程思想及裂项法求和，难点在于裂项法求和的理解与应用，属于中档题．