Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，求得，开方得答案．

详解：如图，设|F1F2|=2c，|AF1|=m，

若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，

则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，

由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，

即有4a=2m+m，即m=2（2﹣）a，

则|AF2|=2a﹣m=（2﹣2）a，

在直角三角形AF1F2中，

|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，

即4c2=4（2﹣）2a2+4（﹣1）2a2，

∴c2=（9﹣6）a2，

则e2==9﹣6=，

∴e=．

故答案为：．