Question

如图，直线PA与圆O相切于点A，PBC是过点O的割线，∠APE=∠CPE，点H是线段ED的中点．
（1）证明：A，E，F，D四点共圆；
（2）证明：PF²=PB•PC．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：推理和证明

分析：（1）连接EF，证明EF∥AB，再证明∠AFE=∠ADE，即可证明A，E，F，D四点共圆．
（2）由AF平分∠CAB，得∠CAF=∠BAF，由弦切角定理得∠PAB=∠ACB，从而∠PFA=∠PAF，由此能证明PF²=PA²=PB•PC．

解答： 证明：（1）连接EF，则
∵直线PA与圆O相切于点A，PBC是过点O的割线，∠APC的角平分线交AC于点E，
∴∠PAB=∠PCA，∠APE=∠CPE，
∴∠ADP=∠PEC，△PAC∽△PBA，
∴∠AED=∠ADE，

AC

AB

=

PC

PA

，
∵点H是线段ED的中点，∴AF平分∠CAB，∴

CF

FB

=

AC

AB

，
∵∠APC的角平分线交AC于点E，

CE

EA

=

PC

PA

，∴

CE

EA

=

CF

FB

，
∴EF∥AB，∵AB⊥AC，∴EF⊥AC，∴∠AEH=∠AFE，
∴∠AFE=∠ADE，∴A，E，F，D四点共圆．
（2）∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠BAF，
∵AP是切线，∴∠PAB=∠ACB，
∴∠PFA=∠PAF，∴PA=PF，
∴PF²=PA²=PB•PC．

点评：本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似、弦切角定理、切割线定理等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．