Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，若对于任意的n∈N^*，都有S_n=2a_n-n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式； 
（Ⅱ）令bn=

an+1	2n-1•n(n+1)

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，可求得a_n+1=2（a_n-1+1），{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列，从而可求得数列{a_n}的通项公式； 
（Ⅱ）将a_n=2ⁿ-1代入b_n=

an+1

2n-1•n(n+1)

可求得b_n=2（

1

n

-

1

n+1

），从而可求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，得a₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-n-2a_n-1+（n-1）=2a_n-2a_n-1-1，
∴a_n=2a_n-1+1，即a_n+1=2（a_n-1+1），
所以{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1．（6分）
（Ⅱ）∵b_n=

an+1

2n-1•n(n+1)

=

2n

2n-1•n(n+1)

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=2（1-

1

n+1

）
=

2n

n+1

．（12分）

点评：本题考查等比关系的确定与等比数列的通项公式的应用，突出考查裂项法求和，属于中档题．