Question

下面玩掷骰子放球游戏，若掷出1点，甲盒中放一球，若掷出2点或3 点，乙盒中放一球，若掷出4点、5点或6点，丙盒中放一球，设掷n次后，甲、乙、丙各盒内的球数分别为x，y，z．
（1）n=3时，求x，y，z成等差数列的概率．
（2）当n=6时，求x，y，z成等比数列的概率．

Answer 1

分析：（1）根据x+y+z=3，且2y=x+z，求出x、y、z的值有三种情形，然后分别求出三种情形时所对应的概率，最后根据互斥
事件的概率公式解之即可．
（2）根据n=6，且x、y、z成等比数列时，则x+y+z=6，且y²=x•z求出x、y、z的值，然后根据n次独立重复试验的概率
公式解之即可．

解答：解：（1）∵x+y+z=3，且2y=x+z，∴①

x=0 y=1 z=2

，或 ②

x=1 y=1 z=1

，或③

x=2 y=1 z=0

．
①表示：掷3次，1次出现2点或3点，2次出现4点，5点或6点，共

C

1 3

种情况．
故情况①的概率为 3•(

1

6

)0•(

2

6

)1•(

3

6

)2=

1

4

．
情况②表示：投掷3次出现1次1点、1次2点或是3点、1次4点或5点或6点，它的概率为 3•2•

1

6

•

2

6

 •

3

6

=

1

6

．
情况③表示：投掷3次出现2次1点、1次2点或3点，它的概率为3•(

1

6

)2•(

2

6

)1•(

3

6

)0=

1

36

．
故n=3时，x、y、z成等差数列，概率为

1

4

+

1

6

+

1

36

=

4

9

．
（2）n=6时，x、y、z成等比数列，由x+y+z=6，且y²=x•z得：x=y=z=2．
此时概率为

C

2 6

•(

1

6

)2•

C

2 4

•(

1

3

)2•

C

2 2

•(

1

2

)2=

5

72

．

点评：本题主要考查了等差数列、等比数列的性质，以及离散型随机变量的期望和n次独立重复试验的概率，同时考查了
计算能力，属于中档题．