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    如图,已知椭圆的焦点为F1、F2,A、B为顶点,离心率e=.

    (1)求证:A、F1、B、F2四点共圆;

    (2)以BF1为直径,作半圆O1,AF切半圆于E,交F1B延长线于F,求cosF的值.

    图20

    解析:(1)∵=,∴a2=2c2.

    又a2=b2+c2,∴b2+c2=2c2.

    ∴b=c,即OA=OF1=OB=OF2.

    ∴四边形AF1BF2是正方形.∴A、F1、B、F2四点共圆.

    (2)连结O1E.∵AF切⊙O1于E,∴O1E⊥AF.

    ∴△O1EF∽△AF1F.∴.

    ∴F1F=2EF.又由切线长定理得EF2=FB·FF1,

    ∴BF=EF.∴O1B=EF,BO1=O1B+BF=EF.∴cosF=.

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    科目：高中数学 来源：2010年北京大学附中高考数学考前猜题试卷（解析版） 题型：解答题

    如图，已知椭圆的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．
    （1）已知椭圆和判断C2与C1是否相似，如果相似则求出C2与C1的相似比，若不相似请说明理由；
    （2）写出与椭圆C1相似且半短轴长为b的椭圆Cb的方程，并列举相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；
    （3）已知直线l：y=x+1，在椭圆Cb上是否存在两点M、N关于直线l对称，若存在，则求出函数f（b）=|MN|的解析式．

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年湖南省怀化市高三上学期期末考试文科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    （本小题满分13分）

    如图，已知椭圆的焦点为、，离心率为，过点的直线交椭圆于、两点．

    （1）求椭圆的方程；

    （2）①求直线的斜率的取值范围；

    ②在直线的斜率不断变化过程中，探究和是否总相等？若相等，请给出证明，若不相等，说明理由．

     

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    科目：高中数学 来源：2013届江苏省无锡市高二下期中数学试卷（成志班）（解析版） 题型：解答题

    如图，已知椭圆的焦点和上顶点分别为、、，我们称为椭圆的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比.

    （1）已知椭圆和，判断与是否相似，如果相似则求出与的相似比，若不相似请说明理由；

    （2）若与椭圆相似且半短轴长为的椭圆为，且直线与椭圆为相交于两点(异于端点)，试问：当面积最大时， 是否与有关？并证明你的结论.

    （3）根据与椭圆相似且半短轴长为的椭圆的方程，提出你认为有价值的相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；

     

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年重庆市高三最后一次模拟考试理数 题型：填空题

    如图，已知椭圆的焦点为、，点为椭圆上任意一点，过作的外角平分线的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为，线段的中点为，则点的轨迹方程为________________

     

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年四川省成都市高三三诊模拟考试理科数学 题型：填空题

    如图，已知椭圆的焦点为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，过F2作的外角平分线的垂线，垂足为点Q，过点Q作轴的垂线，垂足为N，线段QN的中点为M，则点M的轨迹方程为      。

     

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