如图,已知椭圆的焦点为F1.F2,A.B为顶点,离心率e=.(1)求证:A.F1.B.F2四点共圆;(2)以BF1为直径,作半圆O1,AF切半圆于E,交F1B延长线于F,求cosF的值.图20 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图,已知椭圆的焦点为F₁、F₂,A、B为顶点,离心率e=.

(1)求证:A、F₁、B、F₂四点共圆;

(2)以BF₁为直径,作半圆O₁,AF切半圆于E,交F₁B延长线于F,求cosF的值.

图20

解析:(1)∵=,∴a²=2c².

又a²=b²+c²,∴b²+c²=2c².

∴b=c,即OA=OF₁=OB=OF₂.

∴四边形AF₁BF₂是正方形.∴A、F₁、B、F₂四点共圆.

(2)连结O₁E.∵AF切⊙O₁于E,∴O₁E⊥AF.

∴△O₁EF∽△AF₁F.∴.

∴F₁F=2EF.又由切线长定理得EF²=FB·FF₁,

∴BF=EF.∴O₁B=EF,BO₁=O₁B+BF=EF.∴cosF=.

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科目：高中数学 来源：2010年北京大学附中高考数学考前猜题试卷（解析版） 题型：解答题

如图，已知椭圆

的焦点和上顶点分别为F₁、F₂、B，我们称△F₁BF₂为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．
（1）已知椭圆

和

判断C₂与C₁是否相似，如果相似则求出C₂与C₁的相似比，若不相似请说明理由；
（2）写出与椭圆C₁相似且半短轴长为b的椭圆C_b的方程，并列举相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；
（3）已知直线l：y=x+1，在椭圆C_b上是否存在两点M、N关于直线l对称，若存在，则求出函数f（b）=|MN|的解析式．