【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 且对任意正整数n,都有3an=2Sn+3成立.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log3an , 求数列{ }的前n项和Tn .
【答案】
(1)解:在3an=2Sn+3中,取n=1得a1=3,
且3an+1=2Sn+1+3,
两式相减得3an+1﹣3an=2an+1,
∴an+1=3an,
又a1≠0,
∴数列{an}是以3为公比的等比数列,
∴an=33n﹣1=3n
(2)解:bn=log3an=n,
∴ =
,
∴数列{ }的前n项和Tn=(1
)+(
)+(
)+…+(
)=1﹣
【解析】(1)根据数列的递推公式即可求出数列{an}为等比数列,再由等比数列的通项公式得答案;(2)把数列{an}的通项公式代入bn=log3an , 求得bn , 再由裂项相消法求数列{ }的前n项和Tn .
【考点精析】利用数列的前n项和和数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案,需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.
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【题目】给出下列四个命题: ①x0∈R,ln(x02+1)<0;
②x>2,x2>2x;
③α,β∈R,sin(α﹣β)=sin α﹣sin β;
④若q是¬p成立的必要不充分条件,则¬q是p成立的充分不必要条件.
其中真命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】英格兰足球超级联赛,简称英超,是英国足球最高等级的职业足球联赛,也是世界最高水平的职业足球联赛之一,目前英超参赛球队有20个,在2014-2015赛季结束后将各队积分分成6段,并绘制出了如图所示的频率分布直方图(图中各分组区间包括左端点,不包括右端点,如第一组表示积分在[30,40)内).根据图中现有信息,解答下面问题:
(Ⅰ)求积分在[40,50)内的频率,并补全这个频率分布直方图;
(Ⅱ)从积分在[40,60)中的球队中任选取2个球队,求选取的2个球队的积分在频率分布直方图中处于不同组的概率.
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【题目】已知函数f(x)为奇函数,当x≥0时,f(x)= .g(x)=
,
(1)求当x<0时,函数f(x)的解析式,并在给定直角坐标系内画出f(x)在区间[﹣5,5]上的图象;(不用列表描点)
(2)根据已知条件直接写出g(x)的解析式,并说明g(x)的奇偶性.
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【题目】已知四面体ABCD的顶点都在球O表面上,且AB=BC=AC=2 ,DA=DB=DC=2,过AD作相互垂直的平面α、β,若平面α、β截球O所得截面分别为圆M、N,则( )
A.MN的长度是定值
B.MN长度的最小值是2
C.圆M面积的最小值是2π
D.圆M、N的面积和是定值8π
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【题目】空气质量问题,全民关注,有需求就有研究,某科研团队根据工地常用高压水枪除尘原理,制造了雾霾神器﹣﹣﹣雾炮,虽然雾炮不能彻底解决问题,但是能在一定程度上起到防霾、降尘的作用,经过测试得到雾炮降尘率的频率分布直方图:
若降尘率达到18%以上,则认定雾炮除尘有效.
(1)根据以上数据估计雾炮除尘有效的概率;
(2)现把A市规划成三个区域,每个区域投放3台雾炮进行除尘(雾炮之间工作互不影响),若在一个区域内的3台雾炮降尘率都低于18%,则需对该区域后期追加投入20万元继续进行治理,求后期投入费用的分布列和期望.
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【题目】已知函数f(x)满足f(x)=f( ),当x∈[1,4]时,f(x)=lnx,若在区间x∈[
,4]内,函数g(x)=f(x)﹣ax与x轴有三个不同的交点,则实数a的取值范围是 .
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【题目】定义在区间[﹣2,t](t>﹣2)上的函数f(x)=(x2﹣3x+3)ex(其中e为自然对数的底).
(1)当t>1时,求函数y=f(x)的单调区间;
(2)设m=f(﹣2),n=f(t),求证:m<n;
(3)设g(x)=f(x)+(x﹣2)ex , 当x>1时,试判断方程g(x)=x的根的个数.
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【题目】已知函数f(x)=ax2+(x﹣1)ex .
(1)当a=﹣ 时,求f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程;
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)当﹣ <a<﹣
时,f(x)是否存在极值?若存在,求所有极值的和的取值范围.
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