Question

函数f（x）=2sin²x-2asinx+a²-2a-1（0≤x≤

π

2

）的最小值为-2，求实数a的值，并求此时f（x）的最大值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：由题意可得sinx∈[0，1]，根据 f（x）=2(sinx-

a

2

)2+

a2

2

-2a+1最小值为-2，分类讨论求得a的值，可得f（x）的解析式，再利用二次函数的性质求得它的最大值．

解答： 解：∵0≤x≤

π

2

，∴sinx∈[0，1]，
又f（x）=2sin²x-2asinx+a²-2a-1=2(sinx-

a

2

)2+

a2

2

-2a+1，
当

a

2

＜0时，函数f（x）的最小值为 a²-2a-1=-2，求得无解．
当

a

2

∈[0，1]时，函数f（x）的最小值为

1

2

a²-2a-1=-2，求得a=2-

2

．
当

a

2

＞1时，函数f（x）的最小值为2(1-

a

2

)2+

1

2

a²-2a-1=-2，求得a=3．
综上可得，a=2-

2

，或a=3．
当a=2-

2

时，f（x）=2(sinx-

a

2

)2+

a2

2

-2a+1=2(sinx-

2- 2

2

)2，故f（x）的最大值为2(1-

2- 2

2

)2=2×

1

2

=1；
当a=3时，f（x）=2(sinx-

a

2

)2+

a2

2

-2a+1=2(sinx-

3

2

)2-

1

2

，故f（x）的最大值为2×

9

4

-

1

2

=2×

1

2

=4．

点评：本题主要考查正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．