Question

19．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-2）x-1，x≤1}\\{\frac{ax+1}{x+a}，x＞1}\end{array}\right.$在（-∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （1，4]
• B． （2，4]
• C． （2，4）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 根据f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-2）x-1，x≤1}\\{a+\frac{1{-a}^{2}}{x+a}，x＞1}\end{array}\right.$ 在（-∞，+∞）上单调递增，可得 $\left\{\begin{array}{l}{a-2＞0}\\{1{-a}^{2}＜0}\\{a-2-1≤\frac{a+1}{1+a}}\end{array}\right.$，由此求得实数a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-2）x-1，x≤1}\\{\frac{ax+1}{x+a}，x＞1}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{（a-2）x-1，x≤1}\\{a+\frac{1{-a}^{2}}{x+a}，x＞1}\end{array}\right.$ 在（-∞，+∞）上单调递增，∴$\left\{\begin{array}{l}{a-2＞0}\\{1{-a}^{2}＜0}\\{a-2-1≤\frac{a+1}{1+a}}\end{array}\right.$，
求得2＜a≤4，
故选：B．

点评 本题主要考查函数的单调性的性质，属于基础题．