Question

【题目】已知函数.

（1）若函数存在不小于的极小值，求实数的取值范围；

（2）当时，若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用导数分析函数的单调性，求出函数的极值，然后令极值大于等于，解出不等式可得出实数的取值范围；

（2）构造函数，问题等价于，对实数进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，结合条件可得出实数的取值范围.

（1）函数的定义域为，.

当时，，函数在区间上单调递减，

此时，函数无极值；

当时，令，得，

又当时，；当时，.

所以，函数在时取得极小值，且极小值为.

令，即，得.

综上所述，实数的取值范围为；

（2）当时，问题等价于，

记，

由（1）知，在区间上单调递减，

所以在区间上单调递增，所以，

①当时，由可知，所以成立；

②当时，的导函数为恒成立，所以在区间上单调递增，

所以.

所以，函数在区间上单调递增，从而，命题成立.

③当时，显然在区间上单调递增，

记，则，当时，，

所以，函数在区间上为增函数，即当时，.

，，

所以在区间内，存在唯一的，使得，

且当时，，即当时，，不符合题意，舍去.

综上所述，实数的取值范围是.