Question

19．平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=4，AD=2．若P为CD边上一点，则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值为-1．

Answer 1

分析 由题意画出图形，建系求出A，B的坐标，设出P的坐标，得到$\overrightarrow{PA}、\overrightarrow{PB}$的坐标，代入数量积的坐标表示化为关于m的函数得答案．

解答 解：如图，

以AB所在直线为x轴，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
则A（0，0），B（4，0），
设P（m，$\sqrt{3}$），（1≤m≤5），
则$\overrightarrow{PA}=（-m，-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{PB}=（4-m，-\sqrt{3}）$，
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-m（4-m）+3=m²-4m+3=（m-2）²-1，
∴当m=2时，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值为-1．
故答案为：-1．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了利用配方法求二次函数的最值，是中档题．