Question

已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+cos2x．
（1）求f（

π

4

）值；
（2）求f（x）的最小值正周期；
（3）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（ I ）根据函数f（x）=（sinx+cosx）²+cos2x，直接求得f（

π

4

）值．
（ II ）化简f（x）=sin²x+2sinxcosx+cos²x+cos2x 为

2

sin（2x+

π

4

）+1，从而求得f（x）的最小正周期．
（Ⅲ）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，求得x的范围，可得f（x）的单调递增区间．

解答： 解：（ I ） f(

π

4

)=(

2

2

+

2

2

)2+cos

π

2

=2．
（ II ） 因为f（x）=sin²x+2sinxcosx+cos²x+cos2x，
所以，f（x）=1+sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
所以f（x）的最小正周期为 T=

2π

|?|

=

2π

2

=π．
（Ⅲ）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，
所以kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，
所以f（x）的单调递增区间为(kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

)，k∈Z．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性和单调性，属于中档题．