Question

对于（0，3）上的一切实数x，不等式（x-2）m＜2x-1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：将不等式化为（m-2）x-2m+1＜0，讨论m=2与m≠2的情况，特别是第二种情况，构造一次函数f（x）=（m-2）x-2m+1，根据一次函数的单调性可以将不等式（x-2）m＜2x-1恒成立等价于

-2m+1≤0 m-5≤0

，求解即可．

解答： 解：不等式（x-2）m＜2x-1可化为，
（m-2）x-2m+1＜0，
当m=2时，不等式显然成立；
当m≠2时，
令f（x）=（m-2）x-2m+1，
则f（x）可看做关于x的一次函数，
对于（0，3）上的一切实数x，不等式（x-2）m＜2x-1恒成立等价于：

f(0)≤0 f(3)≤0

，
即

-2m+1≤0 m-5≤0

，
解得，

1

2

≤m≤5，且m≠2．
综上，实数m的取值范围是[

1

2

，5]．

点评：本题考查不等式的性质，函数与不等式的关系，以及利用函数性质解决不等式恒成立的技巧，属于中档题．