Question

已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，S₃，S₉，S₆成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的公比q；
（Ⅱ）证明：a₂，a₈，a₅成等差数列．

Answer 1

考点：等差关系的确定,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等比数列的通项公式，建立条件关系，即可得到结论．
（2）利用等差数列的定义进行证明即可．

解答： 解：（Ⅰ）由S₃，S₉，S₆成等差数列，可得2S₉=S₃+S₆．
当q=1时，即得18a₁≠3a₁+6a₁，不成立．…（3分）
当q≠1时，即得

2a1(1-q9)

1-q

=

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q6)

1-q

，
整理得：2q⁶-q³-1=0，即2（q³）²-q³-1=0，
解得：q=1（舍去），或q=-

3 4

2

．…（7分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知q³+1=2q⁶，
∴a2+a5=a1q+a1q4=a1q(1+q3)=a1q•2q6=2a1q7，
∵2a8=2a1q7，
∴a₂+a₅=2a₈，即a₂，a₈，a₅成等差数列． …（12分）

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的应用，考查学生的计算能力．