Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁．
（1）求证：AB⊥BC；
（2）若直线AC与平面A₁BC所成的角为θ，二面角B-A₁C-A的大小为φ，当A₁A=AC=2BC=2时，求sinθ•sinφ的值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明AB⊥BC，只需证明BC⊥侧面A₁ABB₁，只需证明AD⊥BC，AA₁⊥BC；
（2）以B为原点，建立空间直角坐标系，求出设平面A₁BC、平面AA₁C的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求出sinθ•sinφ的值．

解答： （1）证明：如右图，作A在A₁B上的射影D．
∵平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁，且平面A₁BC∩侧面A₁ABB₁=A₁B，
∴AD⊥平面A₁BC，
又BC?平面A₁BC，∴AD⊥BC，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴AA₁⊥底面ABC，
∴AA₁⊥BC．
又AA₁∩AD=A，∴BC⊥侧面A₁ABB₁，
∵AB?侧面A₁ABB₁，
∴AB⊥BC．…6′
（2）解：由（1）知，以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，

3

，0），C（1，0，0），A₁ （0，

3

，2），
∴

AC

=(1，-

3

，0)，

BC

=(1，0，0)，

CA1

=(-1，

3

，2)
设平面A₁BC的一个法向量为

m

=(x1，y1，z1)，
平面AA₁C的一个法向量为

n

=(x2，y2，z2)，
则

m • BC =0 n • CA1 =0

，∴

x1=0 -x1+ 3 y1+2z1=0

取

m

=(0，

3

，-

3

2

)，
由

n • AC =0 n • CA1 =0

，得

x2- 3 y2=0 -x2+ 3 y2+2z2=0

，取

n

=(3，

3

，0)
∴sinθ=

| m • AC |

| m |•| AC |

=

3

21 4 • 4

=

21

7

，cosφ=

m • n

| m |•| n |

=

3

21 24 • 12

=

7

7

，
∴sinφ=

1-cos2φ

=

42

7

∴sinθ•sinφ=

3 2

7

．…12′

点评：本题考查线面垂直，线线垂直，考查空间角，考查向量知识的运用，正确求出平面的法向量是关键．