Question

已知函数R是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x²+2x．
（1）求函数f（x），x∈R的解析式；
（2）写出函数f（x）的增区间（直接写出结果，不必写出求解过程）；
（3）若函数g（x）=f（x）-2ax+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最小值h（a）．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的对称性即可求函数f（x），x∈R的解析式；
（2）根据函数解析式即可写出函数的增区间，
（3）求出函数g（x）=f（x）-2ax+2，x∈[1，2]的解析式即可，求函数g（x）的最小值h（a）．

解答： 解：（1）若x＜0，则-x＞0，
∵当x≥0时，f（x）是偶函数且f（x）=x²-2x，
∴f（-x）=x²+2x=f（x），
则f（x）=x²+2x，x＜0，
综上f(x)=

x2+2x，x≤0 x2-2x，x＞0

．
（2）作出f（x）的图象如图：
则函数的增区间为（-1，0）和（1，+∞），
（3）①当a+1≤1时，即a≤0g（x）_min=g（1）=1-2a…7
②当1＜a+1＜2时，即0＜a＜1g(x)min=g(a+1)=-a2-2a+1，
③当a+1≥2时，即a≥1g（x）_min=g（2）=2-2a，
综上：h(a)=

1-2a，a≤0 -a2-2a+1，0＜a＜1 2-4a，a≥1

．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调区间，以及函数最值的求解，根据二次函数的图象和性质是解决本题的关键．