Question

函数f（x）=

3

sin

2

3

x-2sin2

1

3

x（

π

2

≤x≤

3

4

π）的最小值是

 

．

Answer 1

考点：二倍角的正弦,两角和与差的正弦函数

专题：函数的性质及应用

分析：利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为f（x）=2sin（

2

3

x+

π

6

）-1，再根据

π

2

≤x≤

3

4

π，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最小值．

解答： 解：由于函数f（x）=

3

sin

2

3

x-2sin2

1

3

x=

3

sin

2

3

x+cos

2

3

x-1=2sin（

2

3

x+

π

6

）-1，
由

π

2

≤x≤

3

4

π，可得 2x+

π

6

∈[

7π

6

，

5π

3

]，
故当2x+

π

6

=

3π

2

时，f（x）取得最小值为-2-1=-3，
故答案为：-3．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．