Question

在平面直角坐标系中，已知A（5，0）、B（0，5）、C（cosα，sinα），且α∈（π，2π）．
（Ⅰ）若

AB

⊥

OC

（O为坐标原点），求角α的值；
（Ⅱ）若

AC

•

BC

=2，求

2sin2α-sin2α

2(1+tanα)

的值．

Answer 1

分析：（1）由向量垂直的条件可得

AB

•

OC

=0，利用向量数量积的坐标表示整理可求α
（2）由向量数量积的坐标表示把

AC

•

BC

=2转化可得sinα+cosα=

1

5

，sinα•cosα=

-12

25

，代入求值

解答：解：（Ⅰ）∵

AB

=(-5， 5)，

OC

=(cosα， sinα)，
而

AB

⊥

OC

，∴

AB

•

OC

=0
代入化简得sinα=cosα又α∈（π，2π），∴α=

5π

4

；
（Ⅱ）由

AC

•

BC

=2，得（cosα-5）cosα+sinα（sinα-5）=2
∴sinα+cosα=

1

5

，∴sinα•cosα=-

12

25

，
由于2sinα•cosα=-

24

25

＜0，且α∈（π，2π），则α∈(

3π

2

， 2π)，
∴cosα-sinα=

(sinα+cosα)2-4sinαcosα

=

7

5

又

2sin2α-sin2α

2(1+tanα)

=

2sin2α-2sinαcosα

2(1+ sinα cosα )

=

-sinαcosα(cosα-sinα)

sinα+cosα

所以

2sin2α-sin2α

2(1+tanα)

=-

84

25

．

点评：本题综合考查平面向量的数量积的坐标表示，以向量数量积的坐标表示为载体考查三角函数的基本运算、基本公式的灵活变形，要注意转化思想的运用．