【题目】已知数列{an}中,a1=1,a2=3对任意n∈N* , an+2≤an+32n , an+1≥2an+1都成立,则a2016=
.
【答案】22016﹣1
【解析】解:∵an+1≥2an+1,
∴an+1≥2an+1≥22an﹣1+2+1≥23an﹣2+22+2+1≥…≥2na1+2n﹣1+2n﹣2+…+2+1= =2n+1﹣1,
∴ ﹣1.(n=1时也成立).
由对任意n∈N* , an+2≤an+32n , 即an+2﹣an≤32n ,
∴a3﹣a1≤3×2,
a4﹣a2≤3×22 ,
…,
an﹣2﹣an﹣4≤3×2n﹣4
an﹣1﹣an﹣3≤3×2n﹣3 ,
an﹣an﹣2≤3×2n﹣2 ,
an+1﹣an﹣1≤3×2n﹣1 .
∴an+1+an≤1+3+3×2+3×22+…+3×2n﹣2+3×2n﹣1=1+3× =3×2n﹣2.(n≥2).
∵an+1≥2an+1,
∴3an+1≤3×2n﹣2.
∴an≤2n﹣1.
∴2n﹣1≤an≤2n﹣1,
∴an=2n﹣1.
∴a2016=22016﹣1.
所以答案是:22016﹣1.
【考点精析】利用数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案,需要熟知如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.
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【题目】双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1 , F2 , P为双曲线上一点,且 =0,△F1PF2的内切圆半径r=2a,则双曲线的离心率e= .
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【题目】设a是从集合{1,2,3,4}中随机取出的一个数,b是从集合{1,2,3}中随机取出的一个数,构成一个基本事件(a,b)。记“在这些基本事件中,满足logba≥1为事件A,则A发生的概率是 .
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【题目】设f(x)=cos2x﹣ sin2x,把y=f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位后,恰好得到函数g(x)=﹣cos2x﹣ sin2x的图象,则φ的值可以为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知f(x)=ax2+bx+c(a>0),
(1)当a=1,b=2,若|f(x)|﹣2=0有且只有两个不同的实根,求实数c的取值范围;
(2)设方程f(x)=x的两个实根为x1 , x2 , 且满足0<t<x1 , x2﹣x1> ,试判断f(t)与x1的大小,并给出理由.
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【题目】如图,在三棱椎P﹣ABC中,PA=PB=PC=AC=4,AB=BC=2 .
(1)求证:平面ABC⊥平面APC.
(2)若动点M在底面三角形ABC内(包括边界)运动,使二面角M﹣PA﹣C的余弦值为 ,求此时∠MAB的余弦值.
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【题目】某中学为了普及奥运会知识和提高学生参加体育运动的积极性,举行了一次奥运知识竞赛.随机抽取了30名学生的成绩,绘成如图所示的茎叶图,若规定成绩在75分以上(包括75分)的学生定义为甲组,成绩在75分以下(不包括75分)定义为乙组.
(Ⅰ)在这30名学生中,甲组学生中有男生7人,乙组学生中有女生12人,试问有没有90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关;
(Ⅱ)记甲组学生的成绩分别为x1 , x2 , …,x12 , 执行如图所示的程序框图,求输出的S的值;
(Ⅲ)竞赛中,学生小张、小李同时回答两道题,小张答对每道题的概率均为 ,小李答对每道题的概率均为 ,两人回答每道题正确与否相互独立.记小张答对题的道数为a,小李答对题的道数为b,X=|a﹣b|,写出X的概率分布列,并求出X的数学期望.
附:K2= ;其中n=a+b+c+d
独立性检验临界表:
P(K2>k0) | 0.100 | 0.050 | 0.010 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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