Question

在平面直角坐标系xOy内有两个定点M（-

6

，0），N（

6

，0），动点P满足|

PM

|+|

PN

|=4

2

，记点P的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（Ⅱ）判断是否存在点P，使得|PM|，|MN|，|PN|成等比数列？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设点A，B是曲线C上的两点，且|AB|=

8

3

，求△AOB面积的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得动点P的轨迹是椭圆，根据已知条件求出a，c，再由b²=a²-c²求出b，则答案可求；
（Ⅱ）假设存在点P，使得|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，则由焦半径公式得到关于P点横坐标的方程，求解方程无实数解，所以假设错误，不存在点P，使得|PM|，|MN|，|PN|成等比数列；
（Ⅲ）分AB所在直线与x轴垂直和不垂直两种情况讨论，垂直时求出三角形的面积，斜率不存在时射出直线方程，和椭圆方程联立后利用弦长公式得到直线的斜率和截距的关系，由圆心到直线的距离得到圆心到直线的距离，代入面积公式后化为一个变量的关系式，利用配方法求最值．

解答：解：（Ⅰ）因为两定点的坐标为M（-

6

，0），N（

6

，0），
所以|MN|=2

6

=

24

，由动点P满足|

PM

|+|

PN

|=4

2

=

32

＞

24

，
所以点P的轨迹为以2

2

为半长轴，以M（-

6

，0），N（

6

，0）为焦点的椭圆．
由b2=a2-c2=(2

2

)2-(

6

)2=2．
所以曲线C的方程为

x2

8

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）若存在点P（x₀，y₀），使得|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，
则|PM||PN|=|MN|²，
因为椭圆的离心率e=

6

2 2

=

3

2

，由焦半径公式得：|PM|=2

2

+

3

2

x0，|PN|=2

2

-

3

2

x0．
所以(2

2

+

3

2

x0)(2

2

-

3

2

x0)=4×(

6

)2，即8-

3

4

x02=24，此方程无解．
故不存在点P，使得|PM|，|MN|，|PN|成等比数列；
（Ⅲ）当直线AB的斜率不存在时，由|AB|=

8

3

，得A，B的纵坐标分别为±

4

3

．
代入椭圆方程可得其横坐标为-

2 2

3

或

2 2

2

．
此时S△OAB=

1

2

×

8

3

×

2 2

3

=

8 2

9

；
当直线AB的斜率存在时，
设AB所在直线方程为y=kx+b，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y=kx+b x2 8 + y2 2 =1

，得（1+4k²）x²+8kbx+4b²-8=0．
所以x1+x2=-

8kb

1+4k2

，x1x2=

4b2-8

1+4k2

．
|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

(- 8kb 1+4k2 )2-4• 4b2-8 1+4k2

=

8

3

，
整理得：|b|=

8k4+58k2+14

3 1+k2

．
原点O（0，0）到AB所在直线的距离为d=

|b|

1+k2

．
所以S△OAB=

1

2

×

8

3

×

|b|

1+k2

=

4

9

×

8k4+58k2+14 (1+k2)2

=

4

9

-36•( 1 1+k2 )2+42( 1 1+k2 )+8

．
令

1

1+k2

=t（0＜t≤1）．
则S△OAB=

4

9

-36t2+42t+8

．
所以当t=

7

12

时，S_△OAB有最大值为2．
所以

8 2

9

＜S△OAB≤2．
综上，

8 2

9

≤S△OAB≤2．
所以，△AOB面积的取值范围是[

8 2

9

，2]．

点评：本题考查了曲线方程的求法，考查了等比关系的确定，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了一元二次方程的根与系数关系，考查了换元法，特别是考查了学生的计算能力，属有一定难度题目．