Question

在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．
（I）求圆E的方程；
（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为

2

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）设圆E的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，将A、B、C的坐标代入，建立关于D、E、F的方程组，解之即可得到△ABC的外接圆E的方程；
（II）化圆E为标准方程，得圆心为E（1，2），半径r=1．设直线l方程为y=kx，由点到直线的距离公式和垂径定理建立关于k的方程，解之得到k=1或7，由此即可得到直线l的方程．

解答：解：（I）设圆E的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0
∵A（2，2）、B（1，3）、C（1，1）都在圆E上
∴

4+4+2D+2E+F=0 1+9+D+3E+F=0 1+1+D+E+F=0

，解之得

D=-2 E=-4 F=4

因此，圆E的方程为x²+y²-2x-4y+4=0；
（II）将圆E化成标准方程，可得（x-1）²+（y-2）²=1
∴圆心为E（1，2），半径r=1
设直线l方程为y=kx，则圆心E到直线l的距离为d=

|k-2|

k2+1

∵直线l与圆E相交所得弦的长为

2

，
∴由垂径定理，得d²+（

2

2

）²=r²=1
可得d²=

1

2

，即

(k-2)2

k2+1

=

1

2

，解之得k=1或7
∴直线l的方程是y=x或y=7x．

点评：本题给出三角形ABC三个顶点，求它的外接圆E的方程，并求截圆所得弦长为

2

的直线方程．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．