Question

在二项式(

x

+

2

4 x

)n的展开式中只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都互不相邻的概率为（　　）

• A、

  1

  6

• B、

  1

  4

• C、

  1

  3

• D、

  5

  12

Answer 1

考点：二项式系数的性质,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计,排列组合,二项式定理

分析：由二项式系数的性质得到n的值，由通项公式可得展开式中的有理项的个数，求出9项的全排列数，由插空排列求出有理项都互不相邻的排列数，最后由古典概型概率计算公式得答案．

解答：解：∵二项式(

x

+

2

4 x

)n的展开式中只有第五项的二项式系数最大，
∴二项式的二项展开式共有9项，则n=8．
其通项为Tr+1=

C

r 8

(

x

)8-r(

2

4 x

)r=2r•

C

r 8

•x

16-3r

4

，
当r=0，4，8时，项为有理项．
展开式的9项全排列共有

A

9 9

种，
有理项互不相邻可把6个无理项全排，把3个有理项在形成的7个空中插孔即可，有

A

6 6

•

A

3 7

种．
∴有理项都互不相邻的概率为

A 6 6 • A 3 7

A 9 9

=

5

12

．
故选：D．

点评：本题考查二项式系数的性质，考查简单的排列组合知识，训练了利用古典概型概率计算公式求概率，是中档题．