Question

如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD与OE垂直，垂足是D．割线EC交圆D于B，C，且∠BDC=62°，∠DBE=108°，则∠OEC=

 

．

Answer 1

考点：弦切角

专题：几何证明

分析：连接OA，OB，由已知条件得，△ADE∽△OAE，△BED∽△OEC，从而得O，C，B，D四点共圆，由此能求出结果．

解答：解：连接OA，OB，∵AE是⊙O切线∴∠OAE=90°
∵AD⊥OE，∴∠ADE=90°=∠OAE，又∵∠AED=∠OEA，
∴△ADE∽△OAE，∴

DE

AE

=

AE

OE

，
∴AE²=DE×OE，∵AE²=BE×CE，∴DE×OE=BE×CE，
∴

DE

BE

=

CE

OE

，
又∵∠BED=∠OEC，∴△BED∽△OEC，
∴∠BDE=∠OCE，∴O，C，B，D四点共圆，
∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCE，∴∠ODC=∠OBC，
∴∠ODC=∠BDE，∵∠BDC=62°
∴BDE=（180°-∠BDC）÷2=59°，
∴∠OEC=180°-∠DBE-∠BDE=13°．
故答案为：13．

点评：本题考查角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形相似、四点共圆等知识点的合理运用．