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已知点A(-2,0),B(1,0),平面内的动点P满足|PA|=λ|PB|(λ为常数,λ>0).
(1)求点P的轨迹E的方程,并指出其表示的曲线的形状.
(2)当λ=2时,P的轨迹E与x轴交于C、D两点,M是轨迹上异于C、D的任意一点,直线l:x=-3,直线CM与直线l交于点C′,直线DM与直线l交于点D'.求证:以C′D′为直径的圆总过定点,并求出定点坐标.
(1)设点P(x,y),由|PA|=λ|PB|得:
(x+2)2+y2
(x-1)2+y2

变形整理得:(1-λ2)x2+(1-λ2)y2+(4+2λ2)x+4-λ2=0
当λ=1时,化为x=-
1
2
,此时轨迹E所表示的曲线为直线.
当λ≠1时,化为(x+
λ2+2
1-λ2
)2+y2=
9λ2
(1-λ2)2

此时轨迹E所表示的曲线是以(-
λ2+2
1-λ2
,0)
为圆心,半径为|
1-λ2
|
的圆;
(2)λ=2时,方程(x+
λ2+2
1-λ2
)2+y2=
9λ2
(1-λ2)2
化为x2-4x+y2=0,
P的轨迹方程为x2-4x+y2=0,此时C(0,0)、D(4,0),设M(x0,y0),
则直线CM的方程为:y=
y0
x0
x

联立方程
x=-3
y=
y0
x0
x
,得C′(-3,
-3y0
x0
)

直线DM的方程为:y=
y0
x0-4
(x-4)

联立方程
x=-3
y=
y0
x0-4
(x-4)
D′(-3,
-7y0
x0-4
)

∴以C'D'为直径的圆的方程为(x+3)2+(y+
3y0
x0
)(y+
7y0
x0-4
)=0

y20
=4x0-
x20
,整理得:(x+3)2+y2-21+
10x0-12
y0
y=0

令y=0,则有(x+3)2-21=0,解得x=-3±
21

∴以C'D'为直径的圆总过定点,且定点坐标为(-3±
21
,0
).
练习册系列答案
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设椭圆C:的离心率,右焦点到直线1的距离,O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A、B两点,证明点O到直线AB的距离为定值,并求弦AB长度的最小值.

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(1)求曲线的离心率;
(2)求在k=0,0<b<1的条件下,S的最大值;
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点P是圆C:(x+2)2+y2=4上的动点,定点F(2,0),线段PF的垂直平分线与直线CP的交点为Q,则点Q的轨迹方程是______.

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(1)求曲线C的方程.
(2)若以M(2,3)为圆心的圆与抛物线交于A、B不同两点,且线段AB是此圆的直径时,求直线AB的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知:⊙M的方程为x2+(y-2)2=1,Q点是x轴上的动点,QA、QB分别切⊙M于A、B.
(1)求弦AB中点P的轨迹方程;
(2)若|AB|>
4
2
3
,求点Q的横坐标xQ的取值范围.

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在三角形ABC中,已知A(-1,0),C(1,0),且sinA+sinC=2sinB,动点B的轨迹方程(  )
A.
x2
3
+
y2
4
=1(x<0)
B.
x2
3
+
y2
4
=1(y≠0)
C.
x2
4
+
y2
3
=1(y≠0)
D.
x2
4
+
y2
3
=1(x<0)

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分别是椭圆的左、右焦点,过的直线交椭圆于两点,若,则椭圆的离心率为(    )
A.B.C.D.

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设e是椭圆=1的离心率,且e∈(,1),则实数k的取值范围是(  )
A.(0,3)B.(3,)
C.(0,3)∪(,+∞)D.(0,2)

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