Question

已知数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹．
（1）若b_n=

an

2n

，求证：数列{b_n}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列递推式,等差关系的确定,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由条件得

an+1

2n+1

=

an

2n

+1⇒bn+1=bn+1，利用等差数列的定义，可得数列{b_n}为等差数列；
（2）利用错位相减法求数列{a_n}的前n项和S_n．

解答： （1）证明：由条件得

an+1

2n+1

=

an

2n

+1⇒bn+1=bn+1，
所以b_n+1-b_n=1
所以{b_n}为等差数列；
（2）解：由（1）得bn=b1+(n-1)•1=n⇒

an

2n

=n，∴an=n•2n，
∴S_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ，
∴2S_n=1•2²+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
由错位相减得：Sn=(n-1)2n+1+2．

点评：本题考查了数列递推式，考查了错位相减法，是中档题．