Question

已知圆A：x²+y²+2x+2y-2=0，若圆B平分圆A的周长，且圆B的圆心在直线l：y=2x上，求满足上述条件的半径最小的圆B的方程．

Answer 1

考点：圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：根据圆A的方程求出圆心A（-1，-1）和半径为2，设圆B的半径为r，设圆A，圆B交于C，D，则圆心A在CD上，连接BA，BC，则可判断△ABC为Rt△，则能得到：r2=5(t+

3

5

)+

21

5

，这样即可求出r的最小值，以及此时的圆心B的坐标，这样即可求出圆B的方程．

解答： 解：设圆B的半径为r，∵圆B的圆心在直线l：y=2x上，∴圆B的圆心可设为B（t，2t）；
圆A的方程变成：（x+1）²+（y+1）²=4，圆心A（-1，-1），设圆A，圆B交于C，D两点，∵圆B平分圆A的周长，∴圆心A在CD上，如下图所示：
连接BA，BC，则△ABC是直角三角形，|BC|=r，|AC|=2；
∴（t+1）²+（2t+1）²+4=r²，整理得：r2=5t2+6t+6=5(t+

3

5

)2+

21

5

；
∴t=-

3

5

时，r2最小，r最小，此时圆心B(-

3

5

，-

6

5

)，半径r=

21 5

；
∴圆B的方程为(x+

3

5

)2+(y+

6

5

)2=

21

5

．

点评：考查圆的标准方程，圆心和弦中点的连线和弦的关系，配方法求二次函数最值．