Question

6．已知函数f（x）=（α+2cos²x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（$\frac{π}{4}$）=0，其中α∈R，θ∈（0，π），求α，θ的值．

Answer 1

分析 由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{f（-x）=-f（x）}\\{（a+1）•（-sinθ）=0}\end{array}\right.$，化简可得 a=-1，cos（θ-2x）+cos（θ+2x）=0，再利用θ的值求得θ的值，可得结论．

解答 解：∵函数f（x）=（α+2cos²x）cos（2x+θ）为奇函数，
且f（$\frac{π}{4}$）=0，其中α∈R，θ∈（0，π），
则有$\left\{\begin{array}{l}{f（-x）=-f（x）}\\{（a+1）•（-sinθ）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{（a+{2cos}^{2}x）cos（θ-2x）=-（a+{2cos}^{2}x）cos（2x+θ）}\\{（a+1）sinθ=0}\end{array}\right.$，
∴a+1=0，且cos2xcos（θ-2x）=-cos2xcos（θ+2x），
∴a=-1，cos（θ-2x）+cos（θ+2x）=0，即cosθcos2x=0，∴θ=$\frac{π}{2}$．
综上可得，a=-1，θ=$\frac{π}{2}$．

点评 本题主要考查函数的奇偶性的应用，奇函数的定义，两角和差的余弦公式，属于基础题．