Question

17．已知函数f（x）=（x²-k）e^x（e为自然对数的底数，e=2.71828，k∈R）．
（1）当k=3时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若对于任意x∈[1，2]，都有f（x）＜2x成立，求k的取值范围；
（3）求函数y=f（x）在x∈[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）等价于k＞x²-$\frac{2x}{{e}^{x}}$对x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x²-$\frac{2x}{{e}^{x}}$，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出k的范围即可；
（3）求出函数的导数，通过讨论k的范围，得到函数的单调性，从而求出f（x）的最大值即可．

解答 解：（1）k=3，f（x）=（x²-3）e^x，
f′（x）=（x+3）（x-1）e^x，
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-3，
令f′（x）＜0，解得：-3＜x＜1，
∴函数的单调增区间为（-∞，-3），（1，+∞）；单调减区间为（-3，1）；
当x=-3时，f（x）取得极大值6e^-3；当x=1时，f（x）取得极小值-2e．
（2）依据题意有（x²-k）e^x＜2x，等价于k＞x²-$\frac{2x}{{e}^{x}}$对x∈[1，2]恒成立，
令g（x）=x²-$\frac{2x}{{e}^{x}}$，g′（x）=2x-$\frac{2（1-x）}{{e}^{x}}$，
由1≤x≤2，所以$\frac{2（1-x）}{{e}^{x}}$＜0，则g′（x）＞0成立，
所以g（x）在[1，2]上单调递增，所以k＞g（2），
故k＞4-$\frac{4}{{e}^{2}}$．
（3）f′（x）=（x²+2x-k）e^x，令h（x）=x²+2x-k，
当h（0）≥0，即k≤0时，h（x）≥0在x∈[0，1]上恒成立，则f′（x）≥0，
所以f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（x）的最大值为f（1）；
当h（1）≤0，即k≥3时，h（x）≤0在x∈[0，1]上恒成立，则f′（x）≤0，
所以f（x）在[0，1]上单调递减，所以f（x）的最大值f（0）；
当$\left\{\begin{array}{l}{h（0）＜0}\\{h（1）＞0}\end{array}\right.$，0＜k＜3时，设f′（x₀）=0，
f（x）在[0，x₀]上单调递减，在[x₀，1]上递增，
所以函数的最大值在x=0或1处取得，
f（1）-f（0）=（1-k）e+k，当0＜k＜$\frac{e}{e-1}$，f（1）＞f（0）；
当3＞k＞$\frac{e}{e-1}$时，f（0）＞f（1）；当k=$\frac{e}{e-1}$时，f（1）=f（0），
故f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{（1-k）e，k≤\frac{e}{e-1}}\\{-k，k＞\frac{e}{e-1}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．