Question

6．己知：如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，侧面PAD⊥底面ABCD，PA=PD．
（1）证明：PB⊥CB；
（2）设E为CD的中点，PE与底面ABCD所成角为45°，求平面PAD与平面PBE所成二面角（锐角）的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AD中点O，连结PO、BO、BD，推导出BO⊥AD，BC⊥BO，BC⊥PO，由此能证明PB⊥BC．
（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAD与平面PBE所成二面角（锐角）的余弦值．

解答 证明：（1）取AD中点O，连结PO、BO、BD，
∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，
侧面PAD⊥底面ABCD，PA=PD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD，BO⊥AD，
∵BC⊥BO，BC⊥PO，
又BO∩PO=O，∴BC⊥平面POB，
∵PB?平面POB，∴PB⊥BC．
解：（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵PO⊥平面ABCD，∴∠PEO是PE与底面ABCD所成角，
∵PE与底面ABCD所成角为45°，∴∠PEO=45°，∴EO=PO，
设AB=2，则OB=$\sqrt{3}$，OP=OE=$\frac{1}{2}AC$=BO=$\sqrt{3}$，
P（0，0，$\sqrt{3}$），B（0，$\sqrt{3}$，0），E（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
$\overrightarrow{EP}$=（$\frac{3}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{EB}$=（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
设平面BEP的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EP}=\frac{3}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=\frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），
平面PAD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
设平面PAD与平面PBE所成二面角（锐角）为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴平面PAD与平面PBE所成二面角（锐角）的余弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．