Question

11．设数列{a_n}的前n项和为S_n，其中a_n≠0，a₁=1，且a₁，S_n，a_n+1（n∈N^*）成等差数列，则a₂₀₁₆=3²⁰¹⁴．

Answer 1

分析 通过a₁，S_n，a_n+1（n∈N^*）成等差数列及a₁=1可知2S_n=a₁+a_n+1=1+a_n+1，并与当n≥2时2S_n-1=1+a_n作差，整理可知数列{a_n}从第二项起是首项为1、公比为3的等比数列，进而计算即得结论．

解答 解：∵a₁，S_n，a_n+1（n∈N^*）成等差数列，且a₁=1，
∴2S_n=a₁+a_n+1=1+a_n+1，
当n≥2时，2S_n-1=1+a_n，
两式相减得：2a_n=a_n+1-a_n，
即a_n+1=3a_n（n≥2），
又∵a₂=2S₁-1=1，
∴数列{a_n}从第二项起是首项为1、公比为3的等比数列，
∴a₂₀₁₆=3²⁰¹⁴，
故答案为：3²⁰¹⁴．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．