Question

20．已知a、b是异面直线，M为空间一点，M∉a，M∉b．给出下列命题：
①存在一个平面α，使得b?α，a∥α；
②存在一个平面α，使得b?α，a⊥α；
③存在一条直线l，使得M∈l，l⊥a，l⊥b；
④存在一条直线l，使得M∈l，l与a、b都相交．
其中真命题的序号是①③．（请将真命题的序号全部写上）

Answer 1

分析 利用空间中线线、线面、面面间的关系求解．

解答 解：a、b是异面直线，M为空间一点，M∉a，M∉b，知：
①由唯一性定理得存在一个平面α，使得b?α，a∥α，故①正确；
②过b上一点作a的平行线a′，b和a′确定一个平面α，使得b?α，a∥α，故②错误；
③由两条异面直线有且只有一条公垂直线得存在一条直线l，使得M∈l，l⊥a，l⊥b，故③正确；
④点M分别与两直线a，b构成的两个平面的交线l，使得M∈l，但l与a、b不一定都相交，故④错误．
故答案为：①③．

点评 本题的考点是直线的三种位置关系和线面平行的定义，主要根据具体的位置关系和题意判断，考查了空间想象能力，是中档题．