Question

19．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{7x-3}{2x+2}\\ x∈（\frac{1}{2}，1]}\\{-\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}\\ x∈[0，\frac{1}{2}]}\end{array}\right.$，函数g（x）=asin（$\frac{π}{6}$x）-2a+2（a＞0），若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是[$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{3}$]．

Answer 1

分析 分类讨论求得f（x）的值域，再根据正弦函数的定义域和值域求得g（x）的值域，再根据这2个值域的交集非空，求得a的范围．

解答 解：当x∈（$\frac{1}{2}$，1]时，f（x）=$\frac{7（x+2）-10}{2x+2}$=$\frac{7}{2}$-$\frac{5}{x+1}$∈（$\frac{1}{6}$，1]．
当x∈[0，$\frac{1}{2}$]时，f（x）=-$\frac{x}{3}$+$\frac{1}{6}$∈[0，$\frac{1}{6}$]，
故函数f（x）的值域为[0，1]．
∵sin（$\frac{π}{6}$x）的值域为[-1，1]，故asin（$\frac{π}{6}$x）在[0，1]上的值域为[0，$\frac{1}{2}$a]，
∴g（x）=asin（$\frac{π}{6}$x）-2a+2在[0，1]上的值域为[2-2a，2-$\frac{3a}{2}$]．
由于存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，∴[0，1]∩[2-2a，2-$\frac{3a}{2}$]≠∅．
当[0，1]∩[2-2a，2-$\frac{3a}{2}$]=∅时，2-2a＞1，或2-$\frac{3a}{2}$＜0，
求得a＜$\frac{1}{2}$ 或a＞$\frac{4}{3}$，故要求的a的范围为[$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{3}$]．

点评 本题主要考查利用不等式的基本性质求函数的值域，分段函数的应用，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．