Question

17．已知棱长为$\sqrt{2}$四面体ABCD的各顶点在同一个球面上，则该球的体积为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$π
• B． $\frac{2}{3}$π
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$π
• D． 3π

Answer 1

分析 把四面体补成正方体，两者的外接球是同一个，求出正方体的棱长，然后求出正方体的对角线长，就是球的直径，即可求出球的体积．

解答 解：如图，将四面体补成正方体，则正方体的棱长是1，
正方体的对角线长为：$\sqrt{3}$，
则此球的体积为：$\frac{4}{3}$π×$（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$π
故选：C．

点评 本题是基础题，考查空间想象能力，正四面体的外接球转化为正方体外接球，使得问题的难度得到降低，问题得到解决，注意正方体的对角线就是球的直径，也是比较重要的．