Question

16．已知正项数列{a_n}满足（n+1）a_n+1²-na_n²+a_n+1a_n=0，且a₁=1，不等式“a₁•a₂+a₂•a₃+…+a_n•a_n+1≥m对任意n∈N^*恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{2}$]
• B． （-∞，$\frac{1}{2}$）
• C． （-∞，1]
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 把已知的数列递推式变形，得到$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{n}{n+1}$，然后利用累积法求得数列{a_n}的通项公式，再由错位相减法求得数列{a_na_n+1}的前n项和，最后由数列的函数特性得答案．

解答 解：由（n+1）a_n+1²-na_n²+a_n+1a_n=0，得：
（a_n+1+a_n）[（n+1）a_n+1-na_n]=0，
∵a_n＞0，∴（n+1）a_n+1-na_n=0，则$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{n}{n+1}$．
∴${a}_{n}=\frac{n-1}{n}•\frac{n-2}{n-1}…\frac{1}{2}•1=\frac{1}{n}$．
则a₁•a₂+a₂•a₃+…+a_n•a_n+1=$\frac{1}{1}•\frac{1}{2}+\frac{1}{2}•\frac{1}{3}+$…+$\frac{1}{n}•\frac{1}{n+1}$
=1$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+$…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=$1-\frac{1}{n+1}$．
∵a₁•a₂+a₂•a₃+…+a_n•a_n+1≥m对任意n∈N^*恒成立，
∴m$≤1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$．
则实数m的取值范围是：（-∞，$\frac{1}{2}$]．
故选：A．

点评 本题考查了数列递推式，训练了累积法求数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，属于中档题．