Question

18．△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知c=acosB+bsinA．
（Ⅰ）求A
（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用正弦定理和诱导公式、两角和的正弦公式，同角的商数关系，计算即可得到所求；
（Ⅱ）由三角形的面积公式，余弦定理，结合基本不等式，即可得到所求最大值．

解答 解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得sinC=sinAcosB+sinBsinA ①
又A+B+C=π，故有sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB ②
由 ①②得sinA=cosA即tanA=1，
又$A∈（0，π）∴A=\frac{π}{4}$；
（Ⅱ）△ABC的面积为$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{2}}}{4}bc$，
又已知及余弦定理可得$4={b^2}+{c^2}-2bccosA≥2bc-2bccosA=（2-\sqrt{2}）bc$，
∴$bc≤\frac{4}{{2-\sqrt{2}}}$，当且仅当b=c时，等号成立，
∴$面积S=\frac{1}{2}•bcsinA≤\sqrt{2}+1$，
即面积最大值为$\sqrt{2}+1$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，同时考查三角函数的恒等变换公式的运用，属于中档题．