Question

求函数f（x）=（x-1）²+1在下列情况下的值域：
①x∈R，②x∈{-1，0，1}，③x∈[-1，0]，④x∈[2，3]，⑤x∈[-1，2]．

Answer 1

分析：由于f（x）=（x-1）²+1的对称轴为x=1，只有判断函数在所给区间上的单调性，结合二次函数的性质可求各区间上的值域

解答：解：①x∈R时，f（x）=（x-1）²+1≥1
∴函数的值域为：[1，+∞）
②x∈{-1，0，1}  
f（-1）=5，f（0）=2，f（1）=1
∴函数的值域{5，2，1}
③x∈[-1，0]，函数单调递减，而f（-1）=5，f（0）=2
∴函数的值域[2，5]
④x∈[2，3]时，函数的对称轴x=1，函数在x∈[2，3]时，单调递增
而f（2）=2，f（3）=5
∴函数的值域[2，5]
⑤x∈[-1，2]函数在[-1，1]单调递减，在[1，2]单调递增，函数在x=1时取得最小值，在-1取得最大值
而f（1）=1，f（-1）=5
∴函数的值域[1，5]

点评：本题主要考查了二次函数在区间上的值域的求解，解题的关键是确定函数在各区间上的单调性，千万不能直接把区间的端点值直接代入分别作函数的最值．