Question

7．已知向量$\overrightarrow x=k\overrightarrow a+2\overrightarrow b$和$\overrightarrow y=\overrightarrow a-\overrightarrow b$，其中$\overrightarrow a=（-1，2）$，$\overrightarrow b=（4，2）$，k∈R．
（1）当k为何值时，有$\overrightarrow x$∥$\overrightarrow y$；
（2）若向量$\overrightarrow x$与$\overrightarrow y$的夹角为钝角，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意，设$\overrightarrow x=t\overrightarrow y$，则有$k\overrightarrow a+2\overrightarrow b=t（\overrightarrow a-\overrightarrow b）$，结合向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的坐标，可得t-k=2+t=0，解可得k的值，即可得答案；
（2）根据题意，若向量$\overrightarrow x$与$\overrightarrow y$的夹角为钝角，则有$\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}$＜0，由数量积的计算公式可得$\overrightarrow x•\overrightarrow y=k{\overrightarrow a^2}-2{\overrightarrow b^2}=5k-40＜0$，结合向量不共线分析可得答案．

解答 解：（1）由$\overrightarrow x∥\overrightarrow y$，设$\overrightarrow x=t\overrightarrow y$，
所以$k\overrightarrow a+2\overrightarrow b=t（\overrightarrow a-\overrightarrow b）$，即$（t-k）\overrightarrow a=（2+t）\overrightarrow b$，
又$\overrightarrow a=（-1，2）$，$\overrightarrow b=（4，2）$，得$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$不共线，
所以t-k=2+t=0，解得k=-2，
（2）因向量$\overrightarrow x$与$\overrightarrow y$的夹角为钝角，
所以$\overrightarrow x•\overrightarrow y=（k\overrightarrow a+2\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-\overrightarrow b）＜0$，
又$\overrightarrow a=（-1，2）$，$\overrightarrow b=（4，2）$，得$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，
所以$\overrightarrow x•\overrightarrow y=k{\overrightarrow a^2}-2{\overrightarrow b^2}=5k-40＜0$，即k＜8，
又向量$\overrightarrow x$与$\overrightarrow y$不共线，由（1）知k≠-2，
所以k＜8且k≠-2．

点评 本题考查向量的数量积运算，涉及向量平行的判定，关键是掌握向量数量积与向量夹角的关系．