Question

定义：，设（x∈R，k为正整数）
（1）分别求出当k=1，k=2时方程f（x）=0的解
（2）设f（x）≤0的解集为[a_2k-1，a_2k]，求a₁+a₂+a₃+a₄的值及数列{a_n}的前2n项和
（3）对于（2）中的数列{a_n}，设，求数列{b_n}的前n项和T_n的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据定义化简函数f（x）的解析式，然后根据一元二次方程求出当k=1，k=2时方程f（x）=0的解即可；
（2）由f（x）≤0即（x-3k）（x-2^k）≤0的解集为[a_2k-1，a_2k]建立关系式，然后取k=1，k=2可求出a₁+a₂+a₃+a₄的值，最后根据S_2n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_2n-1+a_2n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_2n-1+a_2n）进行求解即可；
（3）k≥2时，，然后讨论n的奇偶，可知T_n的最大值必为T_n的偶数项，而n为偶数时，{T_n}在n∈N^*上为递减数列，可求出T_n的最大值．
解答：解：（1）f（x）=x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=（x-3k）（x-2^k）
当K=1时f（x）=（x-3）（x-2），所以方程f（x）=0的解为x=2，x=3--（2分）
当K=2时f（x）=（x-6）（x-4），所以方程f（x）=0的解为x=6，x=4---（4分）
（2）由f（x）≤0即（x-3k）（x-2^k）≤0的解集为[a_2k-1，a_2k]．
∴，-------（5分）
∴k=1时，a₁+a₂=3•1+2¹=5，k=2时，a₃+a₄=3•2+2²=10．
∴a₁+a₂+a₃+a₄=5+10=15-------------（7分）
S_2n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_2n-1+a_2n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_2n-1+a_2n）
=（3•1+2¹）+（3•2+2²）+…+（3•k+2ⁿ）
=3（1+2+…+n）+（2+2²+…+2ⁿ）
==---------（9分）
（3）T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n==------（10分）
k≥2时，．n为奇数时，T_n-T_n-1＜0，即T₃＜T₂，T₅＜T₄，T₇＜T₆，…，T_n＜T_n-1，…，n为偶数时，T_n-T_n-1＞0，即T₂＞T₁，T₄＞T₃，T₆＞T₅，…，T_n＞T_n-1，…，
∴T_n的最大值必为T_n的偶数项
故当n为偶数时（n≥4）时，=．
∴n为偶数时，{T_n}在n∈N^*上为递减数列.
∴．-------------（14分）
点评：本题主要考查了二阶行列式的定义，以及数列的求和，同时考查了计算能力，属于中档题．