Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），且当x∈[-2，0]时，f（x）=(

1

2

)x-1，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3个不同的实数解，则a的取值范围是（　　）

• A、（1，2）
• B、（2，+∞）
• C、（1，

  3	4

  ）
• D、（

  3	4

  ，2）

Answer 1

分析：由已知中f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），我们可以得到函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，则不难画出函数f（x）在区间（-2，6]上的图象，结合方程的解与函数的零点之间的关系，我们可将方程f（x）-log_a^x+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=）-log_a^x+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．

解答：解：∵对于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），
∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4
又∵当x∈[-2，0]时，f（x）=(

1

2

)x-1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，
故函数f（x）在区间（-2，6]上的图象如下图所示：

若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a^x+2=0恰有3个不同的实数解
则log_a4＜3，log_a8＞3，
解得：

3	4

＜a＜2
故选D

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键．