Question

对于定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对于任意x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，那么称函数f（x）在区间D上可被函数g（x）替代．
（1）若，试判断在区间[[1，e]]上f（x）能否被g（x）替代？
（2）记f（x）=x，g（x）=lnx，证明f（x）在上不能被g（x）替代；
（3）设，若f（x）在区间[1，e]上能被g（x）替代，求实数a的范围．

Answer 1

解：（1）∵，
令，
∵，
∴h（x）在[1，e]上单调增，
∴．
∴|f（x）-g（x）|≤1，即在区间[[1，e]]上f（x）能被g（x）替代．
（2）记k（x）=f（x）-g（x）=x-lnx，可得
当时，k′（x）＜0，在区间上函数k（x）为减函数，
当1＜x＜m时，k′（x）＞0，在区间（1，m）上函数k（x）为增函数
∴函数k（x）在区间的最小值为k（1）=1，最大值是k（m）＞1，
所以不满足对于任意x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，
故f（x）在上不能被g（x）替代；
（3）∵f（x）在区间[1，e]上能被g（x）替代，
即|f（x）-g（x）|≤1对于x∈[1，e]恒成立．
∴．，
由（2）知，当x∈[1，e]时，x-lnx＞0恒成立，
∴有，
令，
∵=，
由（1）的结果可知，
∴F'（x）恒大于零，
∴．
②，
令，
∵=，
∵，
∴G'（x）恒大于零，
∴，
即实数a的范围为
分析：（1）构造函数，通过研究h（x）的导数得出其单调性，从而得出其在区间[[1，e]上的值域，可以证出f（x）能被g（x）替代；
（2）构造函数k（x）=f（x）-g（x）=x-lnx，可得在区间上函数k（x）为减函数，在区间（1，m）上为增函数，因此函数k（x）在区间的最小值为k（1）=1，最大值是k（m）大于1，所以不满足对于任意x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，故f（x）在上不能被g（x）替代；
（3）根据题意得出不等式，去掉绝对值，再根据x-lnx的正负转化为或，通过讨论右边函数的最值，得出实数a的范围
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，通过分类讨论解决了不等式恒成立的问题，属于难题．