Question

17．已知复数z₁=3-mi，z₂=1+2i，m∈R
（1）若$\frac{z_1}{{{z_2}+i}}$是纯虚数，求实数m的值；
（2）若|z₁+z₂|=|z₁-z₂|，求$\overline{{z_1}-{z_2}}$．

Answer 1

分析 （1）把两复数代入$\frac{z_1}{{{z_2}+i}}$利用代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得实数m的值；
（2）求出z₁+z₂、z₁-z₂，利用模相等求得m的值，得到z₁-z₂，则答案可求．

解答 解：（1）∵z₁=3-mi，z₂=1+2i，
∴$\frac{z_1}{{{z_2}+i}}=\frac{3-mi}{1+3i}=\frac{（3-mi）（1-3i）}{10}=\frac{3-3m-（9+m）i}{10}$，
由$\frac{z_1}{{{z_2}+i}}$是纯虚数，得$\left\{\begin{array}{l}{3-3m=0}\\{9+m≠0}\end{array}\right.$，解得m=1；
（2）z₁+z₂=4+（2-m）i，z₁-z₂=2-（m+2）i，
由|z₁+z₂|=|z₁-z₂|得，16+（m-2）²=4+（m+2）²，解得：$m=\frac{3}{2}$，
此时，${z_1}-{z_2}=2-（m+2）i=2-\frac{7}{2}i$，
∴$\overline{{z_1}-{z_2}}=2+\frac{7}{2}i$．

点评 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数的基本概念及代数形式的乘除运算，是基础题．