Question

5．若|$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2|$\overrightarrow{a}$|，则向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 计算|$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2|$\overrightarrow{a}$|得出|$\overrightarrow{a}$|，|$\overrightarrow{b}$|的关系和$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，计算（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）$•\overrightarrow{a}$，代入平面向量的数量积公式即可得出结论．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2|$\overrightarrow{a}$|，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=4${\overrightarrow{a}}^{2}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，${\overrightarrow{b}}^{2}$=3${\overrightarrow{a}}^{2}$，
∴（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）$•\overrightarrow{a}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$＞=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}{2|\overrightarrow{a}{|}^{2}}$=$\frac{1}{2}$．
∴向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$的夹角为$\frac{π}{3}$．
故选B．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．