Question

13．（1）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是2cm，求球的表面积．
（2）已知各面均为等边三角形的四面体S-ABC的棱长为1，求它的体积．

Answer 1

分析 （1）设出正方体的棱长，求出正方体的体对角线的长，就是球的直径，求出球的表面积即可．
（2）由题意画出图形，求出四面体的高，代入棱锥体积公式求得体积．

解答 解：（1）正方体的棱长为：2cm，正方体的体对角线的长为：2$\sqrt{3}$cm，就是球的直径，
∴球的表面积为：S₂=4π（$\sqrt{3}$）²=12πcm²．
（2）解：如图，四面体S-ABC的各棱长为1，则其四个面均为边长为1的等边三角形，
过S作底面垂线，垂足为O，则O为底面三角形的中心，连接BO并延长，交AC于D．
则BO=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×1=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴SO=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$
体积V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{12}$

点评 本题考查了棱柱，棱锥的表面积、体积，属于中档题．