Question

已知F₁，F₂为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点，椭圆上的点到F₂的最近距离为2，且离心率为

1

3

．
（1）椭圆C的方程；
（2）设点A（-1，2），若P是椭圆C上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；
（3）若E是椭圆C上的动点，求

EF1

•

EF2

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意得到关于a，c的方程组，求出a，c后利用b²=a²-c²求出b则椭圆方程可求；
（2）设出M点的坐标，利用中点坐标公式用M的坐标表示P的坐标，代入椭圆方程后即可得到M的轨迹方程；
（3）设出E点坐标，代入椭圆方程得到E点横纵坐标的关系，写出向量

EF1

和

EF2

的坐标，直接代入数量积后可求范围．

解答：解：（1）由条件知

a-c=2 c a = 1 3

，解得c=1，a=3．
则b²=a²-c²=8．
所以椭圆C：

x2

9

+

y2

8

=1；
（2）设M（x，y），因为M为PA的中点，所以P（2x+1，2y-2）．
又因为点P在椭圆上，所以

(2x+1)2

9

+

(2y-2)2

8

=1即为所求点M的轨迹方程；
（3）设E（x₀，y₀），则有

x02

9

+

y02

8

=1．
因为F₁（-1，0），F₂（1，0）．
所以

EF1

•

EF2

=(-1-x0，-y0)•(1-x0，-y0)
=x02+y02-1=x02+8(1-

x02

9

)-1=

1

9

x02+7．
因为点E在椭圆上，所以0≤x02≤9．
所以

1

9

x02+7∈[7，8]．
所以当x02=0时，所求最小值为7，当x02=9时，所求最大值为8．

点评：本题考查了椭圆标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了代入法求曲线方程，考查数量积公式，属中档题．